ikona pliku pdf

Zaawansowana mechanika kwantowa notatki

Wstęp do teorii przestrzenii Hilberta


  147 osób zadowolonych z pobrania
ocena: 4.0, 147
Poniżej zobaczysz niesformatowany początek pliku. Cały plik zajmuje 248.65 kB.


ZAAWANSOWANA MECHANIKA KWANTOWA: WSTĘP DO TEORII PRZESTRZENI HILBERTA

Ł. Derkacz1 , R. Olkiewicz IFT UWr., 2005

1

Uwagi i dostrzeżone błędy w notatkach prosze kierować na adres: nikko@ift.uni.wroc.pl


1

Przestrzenie Hilberta

Denicja 1 Niech E będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad K (K = R, K = C). Funkcję · : E → R spełniająca następujące warunki: a) ∀f ∈ E b) f + g f 0, f + g f =0⇔f =0 ∀f, g ∈ E

c) af = |a| f

∀f ∈ E ∀a ∈ K

nazywamy normą. Parę (V, · ) nazywamy przestrzenią unormowaną. Przykład 1 E = Kn , a ∈ Kn , a = (a1 , ..., an ), ai ∈ K Przykłady norm: a) b) c) a a

1 2

= maxi |ai | =

n i=1 |ai | n 2 i=1 |ai |

a =

norma euklidesowa.

Denicja 2 Niech dany będzie ciąg fn ∈ E. Mówimy, że ciąg fn jest zbieżny do f ∈ E, jeżeli limn→∞ f − fn = 0. Piszemy wówczas limn→∞ fn = f lub fn → f . Denicja 3 Ciąg fn nazywamy ciągiem Cauchyego, jeżeli ∀ > 0 ∃N ∀n, m > N fn − fm < Uwaga: Jeżeli ciąg (fn ) jest zbieżny to jest ciągiem Cauchyego. Z tego, że fn → f wynika ∃N ∀n > N f − fn < . Gdy n, m > N to zachodzi fn − fm = fn − f + f − fm fn − f + f − fm = f − fn + f − fm < 2

Denicja 4 Jeżeli każdy ciąg Cauchyego w przestrzeni unormowanej E jest zbieżny, to przestrzeń E nazywamy zupełną. Przestrzeń unormowaną i zupełną nazywamy przestrzenią Banacha. Przykład 2 Przestrzeń K jest przestrzenią Banacha względem każdej z norm Denicja 5 Podprzestrzeń liniową D ⊂ E nazywamy gęstą, jeżeli ∀f ∈ E ∃(fn ) ⊂ D taki, że fn → f Przykład 3 E = C[0, 1], f ∞ = supx∈[0,1] |f (x)| jest normą na E. E jest przestrzenią Banacha. Jeżeli (fn ) jest ciągiem Cauchyego, to sup |fn (x) − fm (x)| <

x∈[0,1]

·

1,

·

2,

· .

czyli ∀x fn (x) → f (x). Z twierdzenia o zbieżności jednostajnej f jest funkcją ciągłą, czyli należy do przestrzeni E. Niech D = P|[0,1] . P jest zbiorem wielomianiów. D jest podprzestrzenią liniową w E. Z twierdzenia Stonea-Weierstrassa wynika, że D jest gęsta w E. (Dla każdej funkcji ciągłej znajdziemy ciąg wielomianiów dążących jednostajnie do tej funkcji.) 1


Denicja 6 Mówimy, że

·

spełnia regułę równoległoboku, jeżeli ∀f, g ∈ E zachodzi f −g

2

+ f +g

2

= 2( f

2

+ g 2)

Przykład 4 Norma a dzielnie.

2

=

n k=1 |ai |

nie spełnia reguły równoległoboku. Kontrprzykład znajdź samo-

Twierdzenie 1 Norma euklidesowa spełnia regułę równoległoboku. Dowód: f = (a1 , ..., an ), g = (b1 , ...bn ) L= = =2 |ai − bi |2 + |ai + bi |2 =

(ai ai − ai bi − ai bi + bi bi + ai ai + ai bi + ai bi + bi bi ) = (|ai |2 + |bi |2 ) = 2( f

2

+ g 2)

Denicja 7 Funkcję ·, · : E × E → K spełniającą następujące warunki a) ∀f ∈ E f, f 0, f, f = 0 ⇔ f = 0

b) f + g, h = f, h + g, h c) af, h = a f, h d) f, g = g, f nazywamy iloczynem skalarnym. Parę (E, ·, · ) nazywamy przestrzenią unitarną. Twierdzenie 2 (Nierówność Schwarza). Niech E to przestrzeń unitarna. Wówczas ∀f, g ∈ E zachodzi | f, g | f, f g, g Dowód: Jeśli g = 0, to f, g = 0 ∀f Niech g = 0. Dla λ ∈ K f + λg, f + λg ∀a ∈ K

0 0

f, f + λ g, f + λ f, g + |λ|2 g, g Podstawmy λ=− λ=− Wtedy f, f − g, f f, g =− 2 g g 2 f, g g, f =− 2 g g 2

f, g f, g | f, g |2 f, g − f, g + g, g g 2 g 2 g 4

2 2 2

0

Mnożymy obustronnie przez g f

g

− 2| f, g |2 + | f, g |2 f f 2

2

0

| f, g |2 | f, g |

g g

2


Twierdzenie 3 Jeżeli ·, · jest iloczynem skalarnym, to funkcja f → spełnia regułę równoległoboku. Nazywamy ją normą hilbertowską. Dowód częściowy: a ∈ K. Warunek c) af = af, af = a f, af = a af, f = a a f, f =

f, f

jest normą, którą

|a|2 f, f = |a| f

Warunek trójkąta: Korzystając z nierówności Schwarza otrzymujemy f +g

2

= f + g, f + g = f, f + f, g + g, f + g, g f

2

+2 f

g + g

2

= ( f + g )2

Warunek równoległoboku wynika wprost z denicji. Denicja 8 Przestrzeń unitarną i zupełną nazywamy przestrzenią Hilberta. Przestrzeń Hilberta oznaczać będziemy H. Uwaga: Kn z iloczynem skalarnym a, b = Przykład 5 Przestrzeń E = C[0, 1] z normą f Przykład 6

n i=1 ai bi ∞

jest przestrzenią Hilberta.

= supx∈[0,1] |f (x)| nie jest przestrzenią Hilberta.

l =

2

(an ) : an ∈ C,

n=1

|an |2 < ∞

Wprowadzamy strukturę przestrzeni liniowej (an ) + (bn ) = (an + bn ) c(an ) = (can ), c ∈ C Sprawdzamy, że suma (an ) + (bn ) ∈ l2

∞ ∞ ∞ ∞

|an + bn |

n=1

2 n=1

2(|an | + |bn | ) = 2

n=1 ∞

2

2

|an | + 2

n=1

2

|bn |2 < ∞

Deniujemy (an ), (bn ) =

an bn

n=1

Ponieważ

|an bn | =

n=1 n=1

|an ||bn |

n=1

1 (|an |2 + |bn |2 ) < ∞ 2

więc szereg an bn jest bezwzględnie zbieżny. Forma ·, · spełnia denicje iloczynu sklarnego, więc jest ona iloczynem skalarnym. Przestrzeń l2 jest unitarna. Szkic dowodu zupełności przestrzeni l2

(an ) =

(an ), (an ) =

n=1

|an |2

3


Musimy pokazać, że jeżeli ciąg (an )k , k ∈ N jest ciągiem Cauchyego to jest zbieżny do pewnego elementu (bn ) ∈ l2 (an )k = (ak , ak , ..., ak , ...) ∈ l2 1 2 n ∀ >0 ∃N ∈ N

∀k, l > N |ak − al |2 < n n

(an )k − (an )l <

2

n=1

∀n ∈ N, Z zupełności zbioru C

|ak − al | < n n

∀n ∈ N ∃bn : lim ak = bn n

k→∞

Pozostaje wykazać, że (bn ) ∈ l2 oraz, że (an ) → (bn ) w l2 . Denicja 9 Funkcję f : Rk → C nazywamy równą zero prawie wszędzie, jeżeli zachodzi |f (x)|2 dx = 0

Rk

Przykład 7 Funkcja f : R → R f (x) = jest równa zero prawie wszędzie. Przykład 8 L2 (Rk ) = f : Rk → C : |f (x)|2 dx < ∞

Rk

0 dla x ∈ R\Z 1 dla x ∈ Z

To tylko początek pliku. Cały plik zajmuje 248.65 kB. Pobierz całą treść w pliku.

Podziel się

Komentarze (0)

Czy wiesz, że...

... dajemy Ci 100% gwarancję satysfakcji. Jeśli nie będziesz zadowolony z materiałów zwrócimy Ci pieniądze za SMS!