wzory calki notatki

B) Wzory.
Teraz przedstawimy podstawowe wzory na całkowanie.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
Oto jeszcze kilka niezbędnych wzorów (analogiczne własności posiadają pochodne):
Jeżeli funkcje  i  mają funkcje pierwotne, to:
24. 
25. 
26. 
Ale uwaga!!!
Kolejny przykład pokaże, jak pamiętając wzór na pochodną danej funkcji można przypomnieć sobie wzór na całkę tejże funkcji. Wyprowadźmy wzór nr 6 mając dane: 
 i . 
Obliczamy  
gdyż 
 (patrz wzór 26). 
Z definicji całki nieoznaczonej wynika, że 
 
gdzie  jest dowolną stałą. Otrzymujemy więc, że 
 
Dzielimy obustronnie przez  otrzymując 
. 
Podstawiamy  otrzymujemy wzór 6.  jest oczywiście dowolną stałą. 
:: początek strony 
(C) Całkowanie przez podstawianie i całkowanie przez części.
Całka nieoznaczona ma następującą własność: 
Jeżeli:
1. funkcja  jest ciągła na przedziale 
2. funkcja  ma ciągłą pochodną na przedziale  to
 gdzie  jest dowolną funkcją pierwotną funkcji  oraz 
Jest to tak zwany wzór na całkowanie przez podstawianie. Jego zastosowanie zilustrujemy przykładem. Obliczmy: 
 
Podstawiamy 
 (1) 
Następnie różniczkujemy powyższe równanie: 
 
Stąd wynika, że: 
 (2) 
Podstawiamy (1) i (2) do obliczanej całki: 
 
Pszekształcamy (wykorzystując) wzór 4): 
 
Wykorzystując (1) powracamy do oryginalnej zmiennej otrzymując ostateczne rozwiązanie: 
 
Oto lista kroków niezbędnych do obliczenia całek metodą podstawiania:
(i)
Znajdź wyrażenie t=t(x) takie, że funkcja podcałkowa f(x)może być wyrażona w prostszej postaci
(ii)
Oblicz różniczkę dt=t'(x)dx
(iii)
W wyrażeniu podcałkowym postaraj się znaleźć obliczoną różniczkę
(iv)
Staraj się zapisać funcję podcałkową jako funkcję zmiennej t. Jeśli nie da się tego zrobić, to być może omawiana metoda nie nadaje się do oblicz