Obliczanie ekstremów funkcji

IS, IMed, ZiP - I rok - semestr letni - przykładowe rozwiązania zadań
1
autor: mgr inż.Agnieszka Herczak
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY cz.2.
BADANIE FUNKCJI
1
1.1
TROCHĘ TEORII
Monotoniczność
Niech funkcja f (x) będzie różniczkowalna (ma pochodną) w przedziale (a, b). Jeżeli dla każdego x ∈ (a, b) zachodzi
¯ f (x) = 0, to funkcja jest w tym przedziale stała ¯ f (x) > 0, to funkcja jest w tym przedziale rosnąca. ¯ f (x) < 0, to funkcja jest w tym przedziale malejąca.
1.2
Wypukłość
Niech funkcja f (x) posiada drugą pochodną w przedziale (a, b). Jeżeli dla każdego x ∈ (a, b) zachodzi
¯ f (x) > 0, to funkcja jest w tym przedziale wypukła. ¯ f (x) < 0, to funkcja jest w tym przedziale wklęsła.
1.3
Punkty przegięcia
Niech funkcja f (x) posiada drugą pochodną w przedziale (a, b). Funkcja ma punkt przegięcia w punkcie x0 gdy spełnia podane niżej warunki 1. f (x0 ) = 0 2. zmienia w punkcie x0 wypukłość czyli albo f (x) < 0 dla otoczenia x < x0 i f (x) > 0 dla otoczenia x > x0 . (rys.1) albo f (x) > 0 dla otoczenia x < x0 i f (x) < 0 dla otoczenia x > x0 .
Rysunek 1: funkcja f (x) = 3x3 , x0 = 0 jest punktem przegięcia
IS, IMed, ZiP - I rok - semestr letni - przykładowe rozwiązania zadań
2
1.4
Ekstrema lokalne
Funkcja może mieć ekstrema tylko w punktach w których jej pochodna równa się zero albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje. Do badania istnienia ekstremów wykorzystujemy jeden z podanych niżej warunków wystarczających.
¯ Pierwszy warunek wystarczający istnienia ekstremum Niech funkcja f (x) będzie określona na przedziale (a, b). Wówczas jeżeli a) 1. f (x0 ) = 0 2. f (x) > 0 dla otoczenia x < x0 i f (x) < 0 dla otoczenia x > x0 to funkcja f (x) osiąga w punkcie x0 maksimum lokalne.
Rysunek 2: funkcja z maksimum lokalnym w punkcie x = 0 b) 1. f (x0 ) = 0 2. f (x) < 0 dla otoczenia x < x0 i f (x) > 0 dla otoczenia x > x0 to funkcja f (x) osiąga w punkcie x0 minimum lokalne.
¯ Dr