mechanika płynów notatki

Dwa współosiowe cylindry o promieniach a  i b (a>b) wirują współbieżnie z prędkościami Ωa i Ω b. Przestrzeń pomiędzy cylindrami wypełniono cieczą o lepkości dynamicznej η. Określić prawo rozkładu prędkości w przekroju pierścieniowym między cylindrami oraz wartość momentów sił tarcia działających na poszczególne cylindry.

Równania Naviera-Stokesa we współrzędnych cylindrycznych

Składowa r:

)

Składowa

)

Składowa z:

Równanie ciągłości przepływu:

1.  przepływ ustalony

=

ogólnie:

1.  (osiowa symetria) oraz  (zakładamy dużą długość walców)
2.  przepływ laminarny (wektory prędkości elementów cieczy są równoległe) i uformowany

1.  brak poślizgu na ściankach kanału
2.  pominięcie ziemskiego pola grawitacyjnego R==Z=0

Korzystając z wyżej wymienionych założeń otrzymamy:

    Z równania [1] i przekształcając otrzymamy:

        [4]

 Z równania [2] otrzymujemy i stosując wzór:

    [5]  

Stosując wyżej wymienione założenia upraszczające otrzymamy:

[6]

-       [7]

Istotne jest równanie[7] . Można je rozwiązać na różne sposoby. Jeden z nich:

-      [7]

     [8]

      [9]

+      [10]

Inna metoda polega na skorzystaniu z równania Eulera:

-      [7]

Podstawiam:

y=

y=

Otrzymujemy równanie:

-      [11]

Mnożymy przez :

y+yr-y=0       [12]

Równanie Eulera jednorodne ma postać:

ar2y+bry+cy=0

(u nas a=1; b=1; c=-1)

Podstawiam:

y=ek

y=krk-1

y=k(k-1)rk-2

Podstawiam do równania [12]:

0=r2 k (k-1) rk-2+ r k rk-1-rk     [13]

0=k (k-1) r2 rk-1+ k r rk-1-rk     [14]

Korzystamy z zależności matematycznej:

am+an=am+n

0=k (k-1) r2+k-2+ k 1+k-1-rk     [15]

0=k (k-1) rk + k rk - r